Mathématiques appliquées aux domaines du génie MAT-1900

Description

Mathématiques appliquées aux domaines du génie Mat-1900 ou Comment optimiser les calculs de l’ingénieur ? Il y répond en 3 parties : 1. Équations différentielles, 2. Nombres complexes, 3. Fonctions de plusieurs variables.

Trouver des solutions mathématiques aux problèmes en science et plus spécifiquement en génie ! Ce n’est pas simplement de trouver la réponse ou une réponse.

Ingénieure Mathématiques appliquées aux domaines du génie

C’est avant tout comprendre la question. Et ce manuel d’introduction aux mathématiques de l’ingénieur permet de traduire et de découvrir l’ensemble de la situation.

Trop souvent, on recherche la solution au problème mathématique, mais pas la solution au contexte.

Apprendre les mathématiques, de tous domaines, de tous horizons, c’est apprendre à penser les choses, à les comprendre. C’est une façon de penser.

Sinon, on est exposé à considérer chaque élément du problème, un a un, les uns à part des autres. Alors, on n’arrive pas à avoir une vision de l’ensemble.

Objectif de l’introduction aux mathématiques de l’ingénieur MAT-1900

Comprendre la combinaison de la théorie mathématique, des applications de l’ingénieur et de l’informatique.

Ainsi, répondre aux défis technologiques d’aujourd’hui. C’est aussi élargir ses connaissances. Car, comprendre les concepts-clés des mathématiques pour les appliquer à la résolution de problèmes est un apprentissage vital pour des études d’ingénierie.

D’ailleurs, l’objectif de ce manuel est de développer les idées et les méthodes apprises dans leur formation antérieure (collégial)e pour amener étudiantes et étudiants à un niveau avancé de leur cheminement.

Quand les structures mathématiques deviennent de bons modèles de phénomènes du monde réel, le raisonnement est utile pour fournir une compréhension de la nature et en prédire le mouvement.

À partir de l’abstraction et de la logique, les maths mènent à comprendre le réel.

Mathématiques appliquées aux domaines du génie c’est l’art d’appliquer les maths à des problèmes complexes du monde réel.

À qui s’adresse Mathématiques appliquées aux domaines du génie ?

Il s’adresse à toute personne intéressée à comprendre le réel. Il est conçu explicitement pour les étudiantes et étudiants des sciences appliquées et donc des différentes orientations de l’ingénieur de l’ingénieur.

À quoi ça sert ?

Et bien, cette introduction aux mathématiques de l’ingénieur sert à résoudre des problèmes courants :

Introduction aux mathématiques de l’ingénieur – études des ondes sonores

• Par exemple, mesurer le refroidissement d’un corps;
• Évaluer aussi un mouvement dans un plan;
• Mesurer un mouvement rectiligne;
• Évaluer en outre une croissance exponentielle;
• Déterminer par exemple un mouvement harmonique;
• Optimiser aussi des circuits électriques;
• …

D’abord, la vérité c’est que les mathématiques sont essentielles pour l’ingénieur comme pour toutes sciences appliquées.

Les lois de la nature entre autres sont des expressions mathématiques et cela permet de résoudre presque toutes les questions que la nature nous pose.

Notamment, une des pires obsessions au sujet des mathématiques c’est de croire de ne jamais en avoir besoin dans sa vie professionnelle ou même dans sa vie quotidienne.

Les gens utilisent peu les mathématiques dans leur travail. Ce n’est pourtant pas parce qu’ils n’en ont pas besoin, c’est qu’ils se fient à leur intuition pour avoir des réponses.

Alors c’est quoi ?

Alors les mathématiques c’est plus que mémoriser quelques concepts ou formules. C’est plus que de trouver la réponse à un problème. Il importe aussi de comprendre que tout cela est applicable dans la réalité.

L’ingénierie est ce domaine qui requiert donc cette façon de penser.

Le manuel Mathématiques appliquées aux domaines du génie

Premièrement, ce manuel MAT-1900 présente les éléments essentiels des mathématiques de l’ingénieur de toutes orientations.

Clair, accessible et stimulant, le contenu offre un très grand nombre d’exercices, d’exemples et des questions de défis qui préparent à la maîtrise de la matière

Toutes les réponses aux exercices sont donc fournies sous forme d’indices dans chacun des problèmes posés.

Elles permettent d’orienter l’étudiante ou l’étudiant dans leur recherche vers la solution de chacune des situations.

Les auteurs Jean-Marie de Koninck et Norbert Lacroix

Au fil des années, Jean-Marie de Koninck et Norbert Lacroix, ont fourni des bases solides à de nombreuses cohortes d’étudiantes et d’étudiants d’ingénierie et de sciences appliquées.

Alors, ce documents d’introduction aux mathématiques de l’ingénieur MAT-1900 continue de remplir sa mission.

Plusieurs événements l’a conduit vers une évolution prévue depuis plusieurs années :

1. Le passage à la dématérialisation du livre – sa forme numérique;
2. Appuyée par les exigences de développement durable (consommation excessive de papier, d’eau et d’énergie pour un livre papier);
3. Et tout cela précipité par le travail et l’étude à distance à cause de la pandémie Covid19.

En conséquence, le « livre en ligne » rencontre les attentes des étudiantes et des étudiants d’aujourd’hui.

La forme numérique du document mathématiques appliquées aux domaines du génie

Il n’est plus question ici de livre papier ou de fichier pdf. La forme numérisée du document MAT 1900 (HTML et LateX) permet une accessibilité de chacune des parties du texte en un clic.

On peut ouvrir 2 ou 3 fenêtres à la fois. Une pour le texte théorique, une fenêtre pour les exercices et aussi un fichier PDF contenant des données.

Mais encore ?

• L’accessibilité instantanée : 24h/24, 7jours/7;
• Tu choisis aussi ton environnement;
• Tu étudies entre autres au moment que tu le veux ;
• Car toute la matière est accessible en un clic de souris ;
• Il y a le clavardage avec les autres élèves inscrits ;
• Il y a aussi la possibilité d’utiliser la vidéo-conférence (Zoom ou Teams) ;
• Tu as accès à ta formation en ligne sur ton PC, ton Mac, sur ta tablette et même ton mobile;
• Écologique à 100%.
• Les conditions de ventes sont simples et sécurisées, car elles permettent l’accès à tout étudiante et étudiant qui a besoin d’un complément d’apprentissage ;
• Et bien d’autres chose…

Quels sont les sujets couverts ?

Vous voulez vérifier finalement si un sujet d’étude est couvert dans Mathématiques appliquées aux domaines du génie ?

MAT-1900 Équations différentielles – Nombres complexes – Fonctions de plusieurs variables

Allez au moteur de recherche en haut à droite et ajoutez votre mot-clé. Par exemple extremums. Vous trouverez toutes les entrées du document web.

• D’abord, les nombres complexes;
• Ensuite, la représentation analytique et géométrique;
• La fonction exponentielle;
• Les polynômes;
• Puis, l’équation différentielle du premier ordre;
• L’équation différentielle du second ordre se ramenant à une équation différentielle du 1er ordre;
• Et l’équation différentielle linéaire du 2e ordre : principes généraux;
• Équation différentielle linéaire du 2e ordre à coefficients constants;
• Ensuite les équations différentielles linéaires d’ordre n;
• Équation différentielle linéaire de type Euler-Cauchy;
• Calcul de fonctions de plusieurs variables;
• Représentation géométrique;
• Dérivées partielles et différentielle totale;
• Puis les dérivées des fonctions composées;
• Dérivées d’ordre supérieur;
• Dérivée directionnelle, gradient et plan tangent;
• Le théorème de Taylor et le calcul approché;
• Extremums libres et extremums liés;
• Les fonctions implicites et leurs dérivées;
• Enfin, les équations différentielles exactes.

Exercices, exemples et illustrations

La question en mathématiques n’est pas uniquement d’être en mesure de résoudre une équation spécifiques, particulière.

La question est de comprendre comment la connaissance que nous avons acquise peut être appliquée dans un environnement réel.

Vous trouverez dans ce manuel plus de 499 exercices, 170 exemples et 47 illustrations.

Structure du livre en ligne : Équations différentielles, Nombres complexes et fonctions de plusieurs variables

Ce manuel d’introduction aux mathématiques de l’ingénieur MAT-1900, est divisé en trois parties bien équilibrées. Ce sont trois sous-domaines des mathématiques :

1. D’abord les équations différentielles, sous-domaine du calcul;
2. Puis les nombres complexes, un prolongement de l’ensemble des nombres réels;
3. Les fonctions de plusieurs variables : une extension des fonctions de variables réelle (domaine des réels).

Utilisation des équations différentielles

S’il y a un domaine important en introduction aux mathématiques de l’ingénieur, c’est bien le monde des équations différentielles. Elles sont primordiales lors de la modélisation mathématiques des phénomènes physiques.

Ses applications sont importantes autant dans les activités académiques que dans la vie courante. Une équation différentielle désigne la relation entre deux quantités, ou entre deux fonctions, ou encore entre deux variables ou même entre un ensemble de variables.

Ces équations servent surtout à décrire la croissance ou la décroissance exponentielle au fil du temps. Elles a aussi cette capacité de prévision dans différents champs d’application comme la physique, la chimie, la biologie, etc.

De nombreuses lois de la physique ou même de la chimie peuvent être formulées par des équations différentielles. En biologie et économie aussi. Les équations différentielles dans ces cas servent à modéliser le comportement de systèmes complexes.

Exemples d’applications MAT-1900

Équations différentielles application propagation de la lumière (photo Casey Horner)

Par exemple, les champs de vecteurs sont des représentations graphiques de la solution d’une équation du premier ordre. Ils peuvent être atteints sans avoir résolus l’équation différentielle, et ils sont très utiles pour visualiser une solution.

Ainsi, la théorie mathématiques des équations différentielles s’est d’abord développée avec les sciences d’où les équations venaient. Et où les résultats ont trouvé une application.

Toutefois, certains problèmes, souvent issus de domaines scientifiques différents, ont donné naissance à des équations identiques.

Peu importe quand cela se produit, la théorie qui supporte ces équations peut être perçue comme un principe unificateur de plusieurs phénomènes. Source Lumen Learning.

Équations différentielles application ondes sonores (photo Pawel Czerwinski)

Par exemple, considérons la propagation du son et de la lumière et de celle d’une vague à la surface d’un étang. Tous ces phénomènes peuvent être décrits par la même équations ED d’ordre 2, l’équation des ondes, l’équation d’Alembert. Source Wikipédia

Ce qui nous permet de voir que la lumière et le son comme une « vague » sur l’eau.

Il y a un autre rôle important joué par les équations différentielles. C’est dans la modélisation virtuelle des mouvements célestes, ou dans la conception des ponts, ou même dans les interactions entre les neurones.

En conduction de chaleur, dont la théorie a été développée par Joseph Fourier, c’est une autre équation aux dérivées partielles du second ordre qui la régente, l’équation de la chaleur.

Le grand nombre d’équations auxquelles on a donné un nom dans différents domaines scientifiques sont une marque de la complexité du sujet

Par exemple:

• Les équations de Maxwell en électrodynamique;
• L’équation d’Einstein appelée aussi équation de champ d’Einstein, en relativité;
• L’ équations d’Euler en mécanique des fluides;
• etc.

Source Wikipedia Équations différentielles.

Un dernier exemple en introduction aux mathématiques de l’ingénieur MAT-1900

Un des exemples les plus connus de l’application des équations différentielles parmi les plus connus est de les utiliser dans la modélisation de la relations entre les prédateurs et les proies.

Plus les prédateurs sont nombreux et plus le nombre de proies diminue. Alors, arrive un point où il n’y a plus assez de proies pour alimenter les prédateurs qui eux aussi commencent à disparaître.

Le cheptel de proies se reconstitue. Et le cycle recommence.

L’interaction en deux populations sont révélée par les équations différentielles.

Utilisation des nombres complexes

Les nombres complexes sont utilisés dans de nombreux domaines des sciences appliquées.

Par exemple, en électromagnétisme il permet d’optimiser la modélisation et l’écriture de plusieurs phénomènes (phénomène ondulatoire).

On peut donc noter le champ magnétique comme une combinaison du champ électrique et du champ magnétique

On s’en sert aussi dan le traitement du signal.

En mécanique des fluides on fait ressortir des potentiels et des vitesses complexes.

Aussi, dans l’analyse de phénomènes vibratoires, les propriétés des nombres complexes permettent de simplifier les calculs, etc.

Les nombres complexes sont omniprésents et indispensables à la mécanique quantique.

Source : Wikipédia – nombres complexes.

Différentes références sur le web nous ont indiquées plusieurs autres applications MAT-1900 :

• Théorie du contrôle;
• Cartographie;
• Géométrie (formes, fractales, ensemble de Mandelbrot…);
• Puis les triangles;
• En théorie algébrique des nombres;
• Aussi dans la théorie analytique des nombres;
• En algèbre linéaire;
• Ainsi, plus généralement en mathématiques appliquée;
• Enfin, en physique.

Utilisation des fonctions de plusieurs variables MAT-1900

Une fonction de plusieurs variables est une fonction qui a plus d’un argument, et où tous les arguments sont des réels..

L’utilisation ou l’utilité des fonctions de plusieurs variables se retrouve dans plusieurs objets d’étude, comme les courbes, les surfaces, les champs scalaires ou les champs vectoriels.

Avec les courbes on est ainsi en mesure d’en calculer la longueur de l’arc et sa courbure; avec les surfaces, on touche à la superficie.

En électromagnétisme par contre on couvre la densité de charge, un champ vectoriel en physique ondulatoire, un champ électrique ou magnétique, et en thermodynamique, la pression, la température et le volume.