7.1 Estimation d’un total

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Considérons une population de comptes à recevoir de laquelle un échantillon aléatoire simple a été tiré. Il est probablement nécessaire d’estimer la valeur moyenne μ des comptes. Mais ce qui importe aussi, c’est de savoir quelle est la valeur totale de tous les comptes de la population. Comme le montre le prochain exemple (qui reprend les données de l’exemple 6.1), le passage de la moyenne μ au total τ se fait naturellement et sans difficulté.

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Exemple 7.1 Estimation d’un total

D’une population de N = 8 427 comptes à recevoir, on prélève un échantillon de taille n = 30 afin d’estimer la valeur totale des comptes de la population. Voici les résultats, en dollars :

exemple 7 1

a) Estimer le total τ de la population.

b) Déterminer un intervalle de confiance à 95% pour le total τ de la population.

Solution

La façon la plus simple d’aborder le problème, c’est de commencer par estimer la moyenne. Nous avons les données suivantes :

\(\overline{y}=\frac{4968,68}{30}=165,6226667\), s = 189,553936.

a) L’estimateur de la moyenne est

\(\overline{y}=\frac{4968,68}{30}=165,6226667\).

Pour estimer la valeur totale des comptes, il suffira de multiplier cette valeur par le nombre de comptes dans la population. L’estimation de τ, que nous désignerons par T, est donc

T = 8 427×165,6226667 = 1 395 702 \$

(remarquez que nous avons conservé beaucoup de décimales dans \(\overline{y}\) et s. C’est nécessaire, car lorsqu’on multiplie ces quantités par N on grossit l’erreur d’arrondi).

b) Ici aussi, nous commençons par déterminer un intervalle de confiance pour la moyenne. Nous avons

\(\hat{\sigma}_{\overline{y}}=\sqrt{1-\frac{n}{N}}\frac{s}{\sqrt{n}}=\sqrt{1-\frac{30}{8427}}\frac{189,553936}{\sqrt{30}}=34,54599923\).

L’intervalle de confiance pour µ est donc

\(\overline{y}-2\hat\sigma_{\overline{y}}\leq \mu\leq \overline{y}+2\hat\sigma_{\overline{y}}\)

165,6226667 – 2(34,54599923) ≤ μ ≤ 165,6226667 + 2(34,54599923)

96,530668 ≤ μ ≤ 234,714665.

On obtient l’intervalle de confiance pour le total en multipliant les bornes par N

8 427 × 96,530668 ≤ τ ≤ 8 427 × 234,714665

813 464 ≤ τ ≤ 1 977 940.

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